Question

如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過D作CD⊥OA交弦于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE=CB．（4分+4分+4分）

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；

（3）如果CD=15，BE=10，，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

解答： （1）證明：連接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA   ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC    ∴BC是⊙O的切線．

（2）解：如圖1，連接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，∵OA=OF，∴△OAF是等邊三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=∠AOF=30°；

（3）解：如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥BE于G，∵CE=CB，∴EG=BE=5，

∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，∴∠GCE=∠A，∴△ADE∽△CGE，

在R_tECG中，∵CG==12，∵CD=15，CE=13，∴DE=2，

∵△ADE∽△CGE，∴，∴AD=，CG=，∴⊙O的半徑OA=2AD=．