Question

彼此相似的正方形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，A₃B₃C₃D₃，點A₁，A₂，A₃和點C₁，C₂，C₃分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，點B₃的坐標是（

19

4

，

9

4

），求5k-bk的值．

Answer 1

考點：相似多邊形的性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)直線解析式求出點OA₁，得到第一個正方形的邊長，根據(jù)點B₃的坐標求出第三個正方形的邊長以及A₃的坐標，然后求出第二個正方形的邊長，再表示出A₂B₁、A₃B₂，然后求出△A₁A₂B₁和△A₂A₃B₂相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求b，再把點A₃的坐標代入直線求出k，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．

解答：解：令x=0，則y=b，
所以，OA₁=b，
∵點B₃的坐標是（

19

4

，

9

4

），
∴第三個正方形的邊長A₃C₂=

9

4

，A₃（

5

2

，

9

4

），
∴第二個正方形的邊長為

5

2

-b，
∴A₂B₁=

5

2

-2b，A₃B₂=

9

4

-（

5

2

-b）=b-

1

4

，
∵正方形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，A₃B₃C₃D₃是彼此相似的多邊形，
∴點B₃的坐標是（

19

4

，

9

4

），
∴△A₁A₂B₁∽△A₂A₃B₂，
∴

A1B1

A2B2

=

A2B1

A3B2

，
∴

b

5 2 -b

=

5 2 -2b

b- 1 4

，
整理得，4b²-29b+25=0，
解得b₁=1，b₂=

25

4

（舍去），
所以，直線解析式為y=kx+1，
把A₃（

5

2

，

9

4

）代入得，

5

2

k+1=

9

4

，
解得k=

1

2

，
所以5k-bk=5×

1

2

-1×

1

2

=2．

點評：本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用b表示出正方形的邊長，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出b是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．