Question

已知：二次函數(shù)y=ax²-x+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸是直線x=，且圖象向右平移一個單位后經(jīng)過坐標原點O．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的外接圓圓心D的坐標及⊙D的半徑；
（3）設⊙D的面積為S，在拋物線上是否存在點M，使得S_△ACM=？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可推出拋物線對稱軸是直線x=，過點（-1，0），可確定二次函數(shù)y=ax²-x+c的待定系數(shù)a、c，確定解析式；
（2）作線段BC和線段AB的垂直平分線，它們的交點就是圓心D，根據(jù)點的坐標特點即拋物線的對稱軸可求，用勾股定理求半徑；
（3）根據(jù)（2）可求S=，故S_△ACM==6，用面積法可求滿足S_△ACM=6的M點所在的直線EF的解析式，再與拋物線聯(lián)立，得出滿足題意的點M．
解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x=
∴-
∴a=1，（1分）
∵拋物線向右平移一個單位過坐標原點（0，0），
∴原拋物線過點（-1，0）
∴c=-2
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2（2分）

（2）∵OC=OB=2，線段BC的垂直平分線為直線y=-x
∵拋物線的對稱軸為直線x=
∴△ABC外接圓⊙D的圓心D（，-）（3分）
∵∠ABC=45°，
∴∠ADC=90°
∵AC=，
∴AD=，
即△ABC外接圓半徑為（4分）

（3）∵S=，=6，
∴S_△ACM=6（5分）
過點M作EF∥AC交x軸于E，交y軸于F，
A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）
S_△ACF=S_△ACM=S_△ACE=6
∴CF•OA=6，AE•OC=6
∴CF=12，
∴F（0，10），
∴AE=6，
∴E（5，0）
∴直線EF的解析式為：y=-2x+10（6分）
設點M的坐標為（x，x²-x-2）
∵M（x，x²-x-2）在直線EF上
∴x²-x-2=-2x+10
∴x₁=3，x₂=-4；y₁=4，y₂=18
∴在拋物線上存在點M使得S_△ACM=，且M₁（3，4），M₂（-4，18）．（7分）
點評：本題考查了拋物線解析式的確定方法，三角形外心的確定及坐標的求法，在拋物線中綜合面積問題，求滿足條件的點坐標等問題．