Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D為AB邊上的一動點(diǎn)（D不與A、B重合），過D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．把△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．連接BA′，設(shè)AD=x，△ADE的邊DE上的高為y．

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若以點(diǎn)A′、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似，求x的值；
（3）當(dāng)x取何值時，△A′DB是直角三角形．

Answer 1

解：（1）如圖1，
過A點(diǎn)作AM⊥BC，垂足為M，交DE于N點(diǎn)，則BM=BC=3，
∵DE∥BC，
∴AN⊥DE，即y=AN．
在Rt△ABM中，AM==4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴y=（0＜x＜5）．  
      
（2）∵△A'DE由△ADE折疊得到，
∴AD=A'D，AE=A'E，
∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE，
∴A'D=A'E，
∴四邊形ADA'E是菱形，
∴AC∥D A'，
∴∠BDA'=∠BAC，
又∵∠BAC≠∠ABC，
∴∠BDA'≠∠ABC，
∵∠BAC≠∠C，
∴∠BDA'≠∠C，
∴有且只有當(dāng)BD=A'D時，△BDA'∽△BAC，
∴當(dāng)BD=A'D，即5-x=x時，x=．      
   
（3）第一種情況：∠BDA'=90°，
∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，
∴∠BDA'≠90°．          
第二種情況：∠BA'D=90°，
∵∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，
∴∠BA'D≠90°；    
第三種情況：∠A'BD=90°，
∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，
∴△BA'M∽△ABM，
即=，∴BA'=，
在Rt△D BA'中，DB²+A'B²=A'D²，
（5-x）²+=x²，
解得：x=．        
綜上可知當(dāng)x=時，△A'DB是直角三角形．
分析：（1）先過A點(diǎn)作AM⊥BC，得出BM=BC=3，再根據(jù)DE∥BC，得出AN⊥DE，即y=AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根據(jù)DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)△A'DE由△ADE折疊得到，得出AD=A'D，AE=A'E，再由（1）可得△ADE是等腰三角形，得出AD=A'D，AE=A'E，即可證出四邊形ADA'E是菱形，得出∠BDA'=∠BAC，再根據(jù)∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，從而證出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；
（3）先分三種情況進(jìn)行討論；第一種情況當(dāng)∠BDA′=90°，得出∠BDA'≠90°；第二種情況當(dāng)∠BA'D=90°，根據(jù)∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，可得∠BA'D≠90°；第三種情況當(dāng)∠A'BD=90°，根據(jù)∠A'BD=90°，∠AMB=90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA′的值，再在Rt△D BA'中，根據(jù)DB²+A'B²=A'D²，求出x的值，即可證出△A′DB是直角三角形；
點(diǎn)評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．