Question

如圖所示，拋物線（m＞0）的頂點為A，直線l：與y軸交點為B．
（1）寫出拋物線的對稱軸及頂點A的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）證明點A在直線l上，并求∠OAB的度數(shù)；
（3）動點Q在拋物線對稱軸上，問拋物線上是否存在點P，使以點P、Q、A為頂點的三角形與△OAB全等？若存在，求出m的值，并寫出所有符合上述條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）對稱軸：x=m；
頂點：A（m，0）．

（2）將x=m代入函數(shù)y=x-m，
得y=×m-m=0
∴點A（m，0）在直線l上．
當(dāng)x=0時，y=-m，
∴B（0，-m）
tan∠OAB=，
∴∠OAB=30度．

（3）以點P、Q、A為頂點的三角形與△OAB全等共有以下四種情況：
①當(dāng)∠AQP=90°，PQ=，AQ=m時，
如圖1，此時點P在y軸上，與點B重合，其坐標(biāo)為（0，-m），
代入拋物線y=-（x-m）²
得-m=-3m²，
∵m＞0，
∴m=
這時有P₁（0，-）
其關(guān)于對稱軸的對稱點P₂（，-）也滿足條件．

②當(dāng)∠AQP=90°，PQ=m，AQ=時
點P坐標(biāo)為（m-m，-m），
代入拋物線y=-（x-m）²
得m=m²，
∵m＞0，
∴m=
這時有P₃（3-，-3）
還有關(guān)于對稱軸的對稱點P₄（3+，-3）．

③當(dāng)∠APQ=90°，AP=，PQ=m時
點P坐標(biāo)為（），代入拋物線y=-（x-m）²
得m=m²，
∵m＞0，
∴m=2
這時有P₅（，-3）
還有關(guān)于對稱軸的對稱點P₆（3，-3）．

④當(dāng)∠APQ=90°，AP=m，PQ=時
點P坐標(biāo)為（），
代入拋物線y=-（x-m）²
得m=m²，
∵m＞0，
∴m=
這時有P₇（，-）
還有關(guān)于對稱軸對稱的點P₈（，-）．
所以當(dāng)m=時，有點P₁（0，-），P₂（，-）；
當(dāng)m=時，有點P₃（3-，-3），P₄（3+，-3）；
當(dāng)m=2時，有點P₅（，-3），P₆（3，-3）；
當(dāng)m=時，有點P₇（，-），P₈（，-）．
分析：（1）（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸和A點坐標(biāo)，然后將A點坐標(biāo)代入直線的解析式中進行驗證即可得出A點是否在直線上的．
求∠OAB的度數(shù)，可通過求∠OAB的正切值來得出，根據(jù)直線AB的解析式可得出B點坐標(biāo)，即可得出OB的長，OA的長已求出，因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值．即可得出∠OAB的度數(shù)．
（3）本題可分成四種情況：
一：∠AQP=∠AOB=90°：
①AO=PQ，OB=AQ，此時P、B重合，即可求出P點坐標(biāo)（根據(jù)拋物線的對稱性可知：P點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點也符合要求）．
②AO=AQ，PQ=OB，此時P點縱坐標(biāo)的絕對值與A點橫坐標(biāo)相等，可將其代入拋物線的解析式中，可得出兩個符合條件的P點坐標(biāo)．
二：∠APQ=∠AOB=90°：
①AO=PA，OB=PQ，可過P作拋物線對稱軸的垂線，通過∠PAQ的度數(shù)和AP即OA的長求出P點縱坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中即可得出兩個符合條件的P點坐標(biāo)．
②AO=PQ，PA=OB，同①
因此本題共有8個符合條件的P點坐標(biāo)．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識以及全等三角形的判定，要注意（3）小題中，要分類討論，將所有的情況都考慮到，以免漏解．