Question

如圖：在等腰△ABC中,AB=AC，AD上BC，垂足為D，以AD為直徑作⊙0，⊙0分別交AB、AC于E、F.

(1)求證：BE=CF；

(2)設(shè)AD、EF相交于G，若EF=8，BC=10,求⊙0的半徑．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析；（2）⊙O的半徑為5．

【解析】

試題分析：（1）連接DE，DF，由AB=AC，且AD為BC邊上的高，利用三線合一得到D為BC的中點(diǎn)，AD為頂角平分線，再由AD為圓O的直徑，利用直角所對的角為直角得到一對直角相等，利用AAS得到三角形EBD與三角形FCD全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BE=CF，得證；

（2）由EB=CF，AB=AC，得出AE=AF，確定出AE：AB=AF：AC，且夾角相等，得到三角形AEF與三角形ABC相似，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到AG：AD=8：10，設(shè)AG=8x，AD=10x，連接OE，在直角三角形OEG中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出圓O的半徑．

試題解析：(1)連接DE、DF，

∵AB=AC,AD⊥BC，

∴∠B＝∠C,BD=CD，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠DEA=∠DFA=90°，

∴△DBE≌△DCF，

∴BE=CF；

(2)∵BE=CF，

∴AE=AF，

且∠BAC=∠BAC，

∴△AEF∽△ABC，

∴=，

∴設(shè)AG=8x,AD=10x，

連接EO，在Rt△OEG中，

∴OE2=OG2+EG2，

∴(5x)2=(3x)2+42，

x=1，

∴5x=5，

∴⊙O的半徑為5．

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)，2.全等三角形的判定與性質(zhì)，3.勾股定理，4.圓周角定理．