Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，以AB為直徑向正方形內(nèi)作半圓，CE與DF是半圓的切線，M，N為切點，CE，DF交于點P．則AE=________，△PMN的面積是________．

Answer 1

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分析：（1）由切線長定理知AE=EM，可用AE表示出DE、CE的長，進而在Rt△CED中，由勾股定理求得AE的值．
（2）易證得△PMN是等腰三角形，且MN∥CD∥AB，設(shè)直線MN與AD、BC的交點為R、T，根據(jù)∠REM的正弦和余弦值，可求出ER、MR的值，過P作PG⊥MN于G，易得△EMR∽△PMG，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求出△PMG的面積，進而可得△PMN的面積．
解答：（1）由切線長定理知：AE=EM；
設(shè)AE=EM=x，則DE=4-x，CE=4+x；
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
（4-x）²+4²=（4+x）²，解得x=1；
故AE=1．
（2）同（1）可求得BF=FN=1，則DF=CE=5，DE=CF=3；
則可證得Rt△CDE≌Rt△DCF；
∴∠DCP=∠CDP，即DP=CP，
∴PM=PN；
故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；
設(shè)MN所在直線與AD、BC的交點為R、T，則MR⊥AD，NT⊥BC；
在Rt△MRE中，ME=1，則ER=ME•cos∠DEC=，MR=ME•sin∠DEC=；
過P作PG⊥MN于G，則RG=GT=2，MG=2-RM=；
易知RE∥PG，則△REM∽△GPM，
∴=（）²=；
∵S_△REM=MR•RE=××=，
∴S_△PMG=×=，
故S_△PMN=2S_△PMG=．
點評：此題考查的知識點有：正方形的性質(zhì)、切線長定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算方法等知識，綜合性較強，難度較大．