Question

已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）的頂點在直線y=-

1

2

x-1上，且僅當(dāng)0＜x＜4時，y＜0．設(shè)點A是拋物線與x軸的一個交點，且點A 在y軸的右側(cè)，P為拋物線上一動點．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△POA的面積為5時，求點P的坐標；
（3）當(dāng)cos∠OPA=

2 5

5

時，⊙M經(jīng)過點O、A、P，求過點A且與⊙M相切的直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題須先求出拋物線的對稱軸和頂點坐標，再代入直線的解析式即可．
（2）本題須先設(shè)出P點的坐標，再表示出△POA的面積即可得x的值，再代入求出y的值，即可得出求點P的坐標．
（3）本題須先通過解直角三角形求出AB的長，從而得出點B的坐標，然后即可得出過點A且與⊙M相切的直線的解析式．

解答：解：（1）根據(jù)題意，拋物線與x軸的交點為O（0，0）、A（4，0），
所以其對稱軸為x=2，
把x=2代入y=-

1

2

x-1得y=-2，即拋物線頂點坐標為（2，-2）．
把（2，-2）、A（4，0）代入y=ax²+bx得

4a+2b=-2 16a+4b=0

，
解得

a= 1 2 b=-2

，
所求直線解析式為y=

1

2

x²-2x；

（2）∵點P在拋物線上，
∴設(shè)P點的坐標為（x，

1

2

x²-2x）
△POA的面積=

1

2

×4×|

1

2

x2-2x|=5，
∴x²-4x-5=0或x²-4x+5=0．（無解）
解x²-4x-5=0，得x₁=5，x₂=-1．
當(dāng)x₁=5，時，y₁=

5

2

；x₂=-1時，y₂=

5

2

，
所求的點P為：P1(5，

5

2

)，P₂（-1，

5

2

）；

（3）∵拋物線對稱軸x=2是OA的垂直平分線，
∴根據(jù)題意可知，圓心M在對稱軸x=2上，
連接AM并延長交y軸于點N，
∵∠AON=90°，
∴AN為⊙M直徑．
當(dāng)點P在x軸上方時，
由同弧所對圓周角相等，得∠ANO=∠APO．
設(shè)過點A且與⊙M相切的直線交y軸于點B，
則∠NAB=90°．
∴∠OAB=∠ANO，
∴cos∠OAB=cos∠APO=

2 5

5

，且OA=4．
∴Rt△AOB中，cos∠OAB=

OA

AB

=

2 5

5

．
即

4

AB

=-

2 5

5

∴AB=2

5

，OB=2．即點B的坐標為（0，-2）．
∴過點A、B與⊙M相切的直線解析式為y=

1

2

x-2
當(dāng)點P在x軸下方時，
∵弦OA小于⊙M的直徑，
∴∠APO所對的弧是優(yōu)�。�
∴∠APO是鈍角，不合題意．故點P不可能在x軸的下方．
綜上，過點A、B與⊙M相切的直線解析式為y=

1

2

x-2．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合問題，在解題時要把拋物線的圖象和性質(zhì)與解直角三角形相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．