Question

已知：二次函數(shù)y=x²-（m+1）x+m的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，且x₁²+x₂²=10．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)D（0，-）的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N，與x軸交于點(diǎn)E，使得點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閤₁²+x₂²=10，
所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，（m+1）²-2m=10，
所以m=3，m=-3，
又因?yàn)辄c(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴m=3，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）過(guò)點(diǎn)D（0，-）的直線與拋物線交于M（X_M，Y_M）、N（X_N，Y_N）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E，使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱．
設(shè)直線MN的解析式為：y=kx-，
則有：Y_M+Y_N=0，
由，
x²-4x+3=kx-，
移項(xiàng)后合并同類項(xiàng)得x²-（k+4）x+=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-+kx_N-=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
當(dāng)k=-5時(shí)，方程x²-（k+4）x+=0的判別式△＜0，直線MN與拋物線無(wú)交點(diǎn)，
∴k=1，
∴直線MN的解析式為y=x-，
∴此時(shí)直線過(guò)一、三、四象限，與拋物線有交點(diǎn)；
∴存在過(guò)點(diǎn)D（0，）的直線與拋物線于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E．使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱．
分析：（1）令y=0，即x²-（m+1）x+m=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及x₁²+x₂²=10，可求出m的值，再根據(jù)圖象與y軸正半軸于點(diǎn)C，可求出函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意，設(shè)出一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx-，若能求出比例系數(shù)，則可證明此直線存在．
點(diǎn)評(píng)：此題巧妙利用了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．在（2）中，將直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系解答，考查了同學(xué)們的整體思維能力．