Question

如圖①，點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，-4），將△A′B′O繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△ABO，點(diǎn)A′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A，點(diǎn)B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B．
（1）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線AB的解析式；
（2）將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊，（點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)D不與A，B重合）如圖②，使點(diǎn)B落在x軸上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0），△CDE與△ABO重疊部分的面積為S．
①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；
②當(dāng)x為何值時(shí)，S的面積最大，最大值是多少？
③是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）A（0，2），B（4，0）（2分）
設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b，則有

b=2 4k+b=0

解得

k=- 1 2 b=2

∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2（3分）

（2）i）①點(diǎn)E在原點(diǎn)和x軸正半軸上時(shí)，重疊部分是△CDE．
則S_△CDE=

1

2

BC×CD=

1

2

(4-x)(-

1

2

x+2)
=

1

4

x2-2x+4
當(dāng)E與O重合時(shí)，CE=

1

2

BO=2
∴2≤x＜4（4分）
②當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)F，則重疊部分為梯形
∵△OFE∽△OAB
∴

OF

OE

=

OA

0B

=

1

2

，
∴OF=

1

2

OE
又∵OE=4-2x
∴OF=

1

2

(4-2x)=2-x
∴S四邊形CDFO=

x

2

×[2-x+(-

1

2

x+2)]
=-

3

4

x2+2x（5分）
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）
∴0＜x＜2（6分）
綜合①②得S=

1 4 x2-2x+4(2≤x＜4) - 3 4 x2+2x(0＜x＜2)

（7分）
ii）①當(dāng)2≤x＜4時(shí)，S=

1

4

x2-2x+4=

1

4

(x-4)2
∴對(duì)稱軸是直線x=4
∵拋物線開口向上，
∴在2≤x＜4中，S隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=2時(shí)，S的最大值=

1

4

×(2-4)2=1（8分）
②當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S=-

3

4

x2+2x=-

3

4

(x-

4

3

)2+

4

3

∴對(duì)稱軸是直線x=

4

3

∵拋物線開口向下∴當(dāng)x=

4

3

時(shí)，S有最大值為

4

3

（9分）
綜合①②當(dāng)x=

4

3

時(shí)，S有最大值為

4

3

（10分）
iii）存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

3

2

，0）和（

5

2

，0）（14分）
附：詳①當(dāng)△ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，作AE⊥AB交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，
∵△AOE∽△BOA
∴

EO

AO

=

AO

BO

=

1

2

∵AO=2∴EO=1
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-1，0）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

3

2

，0）②當(dāng)△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)
同樣有△AOE∽△BOA

OE

AO

=

OA

BO

=

1

2

∴EO=1∴E（1，0）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（

5

2

，0）
綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有（

3

2

，0）和（

5

2

，0）．
以上僅提供本試題的一種解法或解題思路，若有不同解法請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)予以評(píng)分．