Question

四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．如圖，點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）如圖2，點(diǎn)P即為所畫點(diǎn)．…（答案不唯一）
（2）如圖3，點(diǎn)P即為所作點(diǎn)．…（答案不唯一．）


（3）證明：連接DB，
在△DCF與△BCE中，，
∴△DCF≌△BCE（AAS），
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠PDB=∠PBD，
∴PD=PB，
∵PA≠PC
∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，在菱形對(duì)角線上找出除中心外的任意一點(diǎn)即可；
（2）作對(duì)角線BD的垂直平分線于與另一對(duì)角線AC相交于點(diǎn)P，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得點(diǎn)P即為所求的準(zhǔn)等距點(diǎn)；
（3）連接BD，先利用“角角邊”證明△DCF和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD=CB，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠CDB=∠CBD，從而得到∠PDB=∠PBD，然后根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得PD=PB，根據(jù)準(zhǔn)等距點(diǎn)的定義即可得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)雜作圖，主要利用了線段垂直平分線的作法，全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂題意，理解準(zhǔn)等距點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．