(1999•昆明)已知:二次函數(shù)y=的圖象與x軸從左到右的兩個交點(diǎn)依次為A、B,與y軸交點(diǎn)為C;
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過B、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式;
(3)如果P(x,y)是線段BC上的動點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),試求△POA的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量x的取值范圍;
(4)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PO=AO?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在說明理由.
【答案】分析:(1)拋物線的解析式中,令x=0可求得C點(diǎn)坐標(biāo),令y=0可求得A、B的坐標(biāo);
(2)已知了B、C的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求解即可;
(3)根據(jù)直線BC的解析式可用x表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),以O(shè)A為底,P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值為高即可得到△OAP的面積,由此可求得S、x的函數(shù)關(guān)系式;
(4)易知△OBC是等腰Rt△,且直角邊長為6,因此點(diǎn)O到BC的距離為3(即),顯然這個距離要大于4,因此P點(diǎn)的坐標(biāo)無論去何值,都不存在OP=OA的情況.
解答:解:(1)由題意,在y=x2-中,令x=0及y=0
可得:A(4,0),B(6,0),C(0,6);(3分)

(2)設(shè)一次函數(shù)的解析式為:y=kx+b;(4分)
將B(6,0)、C(0,6)代入上式,得:
,
解得
∴y=-x+6;(5分)

(3)根據(jù)題意得S△POA=×4×y,
∴y=-x+6;
∴S△POA=-2x+12;(7分)
∴0≤x<6;(8分)

(4)∵|OB|=|OC|,∠COB=90°;
∴△BOC是等腰直角三角形;
當(dāng)OP⊥BC時,OP最短;
OP=BC==3=,(10分)
而OA=4,
>4;(11分)
∴不存在這樣的點(diǎn)P,使得OP=AO.(12分)
點(diǎn)評:此題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、一次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的計算方法等重要知識點(diǎn),綜合性較強(qiáng),難度適中.
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