Question

如圖，拋物線l₁：y₁=a（x+1）²+2與l₂：y₂=-（x-2）²-1交于點(diǎn)B（1，-2），且分別與y軸交于點(diǎn)D、E．過點(diǎn)B作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)A、C，則以下結(jié)論：
①無論x取何值，y₂總是負(fù)數(shù)；
②l₂可由l₁向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到；
③當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，隨著x的增大，y₁-y₂的值先增大后減��；
④四邊形AECD為正方形．
其中正確的是（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可證得y₂=-（x-2）²-1≤-1＜0，即可得無論x取何值，y₂總是負(fù)數(shù)；
②由拋物線l₁：y₁=a（x+1）²+2與l₂：y₂=-（x-2）²-1交于點(diǎn)B（1，-2），可求得a的值，然后由拋物線的平移的性質(zhì)，即可得l₂可由l₁向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到；
③由 y₁-y₂=-（x+1）²+2-[-（x-2）²-1]=-6x+6，可得隨著x的增大，y₁-y₂的值減��；
④首先求得點(diǎn)A，C，D，E的坐標(biāo)，即可證得AF=CF=DF=EF，又由AC⊥DE，即可證得四邊形AECD為正方形．

解答：解：①∵（x-2）²≥0，
∴-（x-2）²≤0，
∴y₂=-（x-2）²-1≤-1＜0，
∴無論x取何值，y₂總是負(fù)數(shù)；
故①正確；
②∵拋物線l₁：y₁=a（x+1）²+2與l₂：y₂=-（x-2）²-1交于點(diǎn)B（1，-2），
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，
即-2=a（1+1）²+2，
解得：a=-1；
∴y₁=-（x+1）²+2，
∴l(xiāng)₂可由l₁向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到；
故②正確；
③∵y₁-y₂=-（x+1）²+2-[-（x-2）²-1]=-6x+6，
∴隨著x的增大，y₁-y₂的值減��；
故③錯(cuò)誤；
④設(shè)AC與DE交于點(diǎn)F，
∵當(dāng)y=-2時(shí)，-（x+1）²+2=-2，
解得：x=-3或x=1，
∴點(diǎn)A（-3，-2），
當(dāng)y=-2時(shí)，-（x-2）²-1=-2，
解得：x=3或x=1，
∴點(diǎn)C（3，-2），
∴AF=CF=3，AC=6，
當(dāng)x=0時(shí)，y₁=1，y₂=-5，
∴DE=6，DF=EF=3，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∴AC=DE，
∴四邊形AECD為矩形，
∵AC⊥DE，
∴四邊形AECD為正方形．
故④正確．
故選C．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的平移以及正方形的判定．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．