Question

（2004•南通）小剛為書房買燈，現(xiàn)有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦（即0.009千瓦）的節(jié)能燈，售價(jià)49元/盞；另一種是40瓦（即0.04千瓦）的白熾燈，售價(jià)為18元/盞．假設(shè)兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達(dá)到2800小時(shí)，已知小剛家所在地的電價(jià)是每千瓦0.5元．
（1）設(shè)照明時(shí)間是x小時(shí)，請用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用和用一盞白熾燈的費(fèi)用；（注：費(fèi)用=燈的售價(jià)+電費(fèi)）
（2）小剛想在這兩種燈中選購一盞，試用特殊值推斷：
照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費(fèi)用低；
照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低；
（3）小剛想在這兩種燈中選購兩盞，假定照明時(shí)間是3000小時(shí)，使用壽命都是2800小時(shí)，請你幫他設(shè)計(jì)費(fèi)用最低的選燈方案，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)“費(fèi)用=燈的售價(jià)+電費(fèi)”直接列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)“使用兩種燈的費(fèi)用一樣多”可列方程49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000；根據(jù)“白熾燈費(fèi)用低”，“節(jié)能燈費(fèi)用低”列不等式求解即可．
（3）分下列三種情況討論：
①如果選用兩盞節(jié)能燈，則費(fèi)用是98+0.0045×3000=111.5元；
②如果選用兩盞白熾燈，則費(fèi)用是36+0.02×3000=96元；
③如果選用一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈費(fèi)用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元．通過比較可得費(fèi)用最低的方案．
解答：解：（1）∵0.009千瓦×0.5元/千瓦=0.0045元，0.04千瓦×0.5元/千瓦=0.02元，
∴用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用是（49+0.0045x）元，用一盞白熾燈的費(fèi)用是（18+0.02x）元；

（2）①設(shè)照明時(shí)間是x小時(shí)，
由題意，得49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000，所以當(dāng)照明時(shí)間是2000小時(shí)時(shí)，兩種燈的費(fèi)用一樣多．
②當(dāng)節(jié)能燈費(fèi)用＞白熾燈費(fèi)用時(shí)，49+0.0045x＞18+0.02x，即x＜2000．
所以當(dāng)照明時(shí)間＜2000小時(shí)時(shí)，選用白熾燈費(fèi)用低．
當(dāng)節(jié)能燈費(fèi)用＜白熾燈費(fèi)用時(shí)，49+0.0045x＜18+0.02x，即x＞2000．
所以當(dāng)照明時(shí)間超過2000小時(shí)時(shí)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低；

（3）分下列三種情況討論：
①如果選用兩盞節(jié)能燈，則費(fèi)用是98+0.0045×3000=111.5元；
②如果選用兩盞白熾燈，則費(fèi)用是36+0.02×3000=96元；
③如果選用一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈，由（2）可知，當(dāng)照明時(shí)間＞2000小時(shí)時(shí)，用節(jié)能燈比白熾燈費(fèi)用低，所以節(jié)能燈用足2800小時(shí)時(shí)，費(fèi)用最低．
費(fèi)用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元．
綜上所述，應(yīng)各選用一盞燈，且節(jié)能燈使用2800小時(shí)，白熾燈使用200小時(shí)時(shí)，費(fèi)用最低．
另外，本題第二小題還可以用特殊值法知識求解或者用函數(shù)圖象求解．
點(diǎn)評：（1）直接套用題目中所給出的公式即可列出關(guān)系式；
（2）①根據(jù)（1）中所列出的函數(shù)關(guān)系式，列出方程，即可求出x的值；
②再分別根據(jù)節(jié)能燈費(fèi)用＞白熾燈費(fèi)用與節(jié)能燈費(fèi)用＜白熾燈費(fèi)用兩種情況列出不等式，求出不等式的解集即可；
（3）根據(jù)題意分別計(jì)算出：
①選用兩盞節(jié)能燈；
②選用兩盞白熾燈；
③一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈，所需的費(fèi)用，進(jìn)行比較大小即可．
考查學(xué)生對方案的設(shè)計(jì)與選擇，通過數(shù)學(xué)計(jì)算來研究現(xiàn)實(shí)生活中遇到的數(shù)學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)分類思想在解題中的應(yīng)用．