如圖1,已知雙曲線y1=
k
x
(k>0)
與直線y2=k'x交于A,B兩點,點A在第一象限.試解答下列問題:
(1)若點A的坐標(biāo)為(4,2),則點B的坐標(biāo)為
 
;當(dāng)x滿足:
 
時,y1>y2;
(2)過原點O作另一條直線l,交雙曲線y=
k
x
(k>0)
于P,Q兩點,點P在第一象限,如圖2所示.
①四邊形APBQ一定是
 
;
②若點A的坐標(biāo)為(3,1),點P的橫坐標(biāo)為1,求四邊形APBQ的面積;
③設(shè)點A、P的橫坐標(biāo)分別為m、n,四邊形APBQ可能是矩形嗎?若可能,求m,n應(yīng)滿足的條件;若不可能,請說明理由.
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分析:數(shù)與形相結(jié)和,理解正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì),并對函數(shù)的性質(zhì)靈活運用,同時也訓(xùn)練了平行四邊形和矩形的相關(guān)性質(zhì).點A與點B關(guān)于原點對稱,所以B點坐標(biāo)為(-4,-2),在第三象限當(dāng)x<-4時y1>y2,在第一象限當(dāng)0<x<4時y1>y2.由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證明APBQ是平行四邊形.平行四邊形的對角線把它分成四個面積相等的三角形,所以只要求出△AOP的面積,再將其乘以4就可以得到APBQ的面積.根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知,當(dāng)mn=k時OP=OA,此時APBQ是矩形.
解答:解:(1)因為正比例函數(shù)與反比例都關(guān)于原點成中心對稱,所以B點的坐標(biāo)為B(-4,-2);
由兩個函數(shù)都經(jīng)過點A(4,2),可知雙曲線的解析式為y1=
8
x
,直線的解析式為y2=
1
2
x,
雙曲線在每一象限y隨x的增大而減小,直線y隨x的增大而增大,
所以當(dāng)x<-4或0<x<4時,y1>y2

(2)①∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)都關(guān)于原點成中心對稱,
∴OA=OB,OP=OQ,根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可知APBQ一定是平行四邊形.
②∵A點的坐標(biāo)是(3,1)
∴雙曲線為y=
3
x
,
所以P點坐標(biāo)為(1,3),
過A作x軸的垂線CD交x軸于C,可得直角梯形OPDC,過P作PD⊥DC,垂足為D,
用直角梯形的面積減去直角三角形的面積可得三角形POA的面積為4,再用4×4得四邊形APBQ為16.
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③∵當(dāng)mn=k時,此時A(m,n),P(n,m),
∴OA=OP,對角線相等且互相平分的四邊形是矩形,
∴四邊形APBQ是矩形.
點評:此題考點清晰,難度不大,但數(shù)形結(jié)合能比較綜合的考查學(xué)生的分析能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•蘇州模擬)如圖1,已知雙曲線y=
k1
x
(k1>0)與直線y=k2x交于A、B兩點,點A在第一象限.試解答下列問題:
(1)若點A坐標(biāo)為(4,2),則B點坐標(biāo)為
(-4,-2)
(-4,-2)
.若點A的橫坐標(biāo)為m,則B點坐標(biāo)為
(-m,-k2m)或(-m,-
k1
m
(-m,-k2m)或(-m,-
k1
m
(用含m和k1或k2的式子表示);
(2)如圖2,過原點作另一條直線l,交雙曲線y=
k1
x
(k1>0)于P、Q兩點,說明四邊形APBQ是平行四邊形;
(3)設(shè)點A、P的橫坐標(biāo)分別為m、n,四邊形APBQ可能是矩形嗎?可能是正方形嗎?若可能,直接寫出m、n應(yīng)滿足的條件;若不可能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知雙曲線y=
k
x
(k>0)
與直線y=k′x交于A,B兩點,點A在第一象限.試解答下列問題:
(1)若點A的坐標(biāo)為(4,2),則點B的坐標(biāo)為
 
;若點A的橫坐標(biāo)為m,則點B的坐標(biāo)可表示為
 
;
(2)如圖2,過原點O作另一條直線l,交雙曲線y=
k
x
(k>0)
于P,Q兩點,點P在第一象限.
①說明四邊形APBQ一定是平行四邊形;
②設(shè)點A,P的橫坐標(biāo)分別為m,n,四邊形APBQ可能是矩形嗎?可能是正方形嗎?若可能,直接寫出m,n應(yīng)滿足的條件;若不可能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知雙曲線y=
a
x
(a>0)
與直線y=kx交于A,C兩點,點A在第一象限.試解答下列問題:

(1)若點A的坐標(biāo)為(4,2),則點C的坐標(biāo)為
(-4,-2)
(-4,-2)
;若點A的橫坐標(biāo)為m,則點C的坐標(biāo)可表示為
(-m,-km)或(-m,-
a
m
(-m,-km)或(-m,-
a
m
;
(2)如圖2,過原點O作另一條直線l交雙曲線y=
a
x
于B,D兩點,點B在第一象限.設(shè)點A,B的橫坐標(biāo)分別為m,n.
①四邊形ABCD可能是矩形嗎?若可能,直接寫出m,n應(yīng)滿足的條件;若不可能,請說明理由.
②四邊形ABCD可能是正方形嗎?若可能,直接寫出m,n應(yīng)滿足的條件;若不可能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知雙曲線y1=
k
x
(k>0)
與直線y2=k'x交于A,B兩點,點A在第一象限.試解答下列問題:
(1)若點A的坐標(biāo)為(3,1),則點B的坐標(biāo)為
(-3,-1)
(-3,-1)

(2)當(dāng)x滿足:
-3≤x<0或x≥3
-3≤x<0或x≥3
時,y1≤y2;
(3)過原點O作另一條直線l,交雙曲線y=
k
x
(k>0)
于P,Q兩點,點P在第一象限,如圖2所示.
①四邊形APBQ一定是
平行四邊形
平行四邊形

②若點A的坐標(biāo)為(3,1),點P的橫坐標(biāo)為1,求四邊形APBQ的面積.

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