Question

（2013•蒼梧縣一模）如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑作⊙O，交AC于點D，連接DB，過點D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若DB=8，DE=2

7

，求⊙O半徑的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，求出OD⊥AC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出BE長，證△ADB∽△DEB，求出AD，根據(jù)△搞定了求出AB，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O切線；

（2）解：在Rt△BDE中，DB=8，DE=2

7

，由搞定了得：BE=6，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠DBO，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠ADB=90°，
∴∠DAB=180°-90°-∠DBO，∠EDB=90°-∠ODB，
∴∠DAB=∠EDB，
∵∠ADB=∠DEB=90°，
∴△ADB∽△DEB，
∴

DE

AD

=

BE

BD

，
∴

2 7

AD

=

6

8

，
∴AD=

8 7

3

，
由勾股定理得：AB=

AD2+DB2

=

32

3

，
即⊙O半徑長是

16

3

．

點評：本題考查了切線判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的中位線，平行線性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．