Question

如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD、AC相交于點(diǎn)G，∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°，∠ACD=24°．
（1）求證：BG=AC．
（2）求∠ADB的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求出∠ABC，推出AB=AC，求出∠AGB和∠BAC的度數(shù)，推出BG=AB，即可得出答案；
（2）在四邊形ABCD形外作∠PBA=∠DBA=12°，并使BP=BD，連AP、PC，根據(jù)SAS推出△PBA≌△DBA，推出∠BPA=∠BDA，求出∠BCD、∠BDC的度數(shù)，推出BC=BD=BP，求出∠PBC的度數(shù)，推出△PBC為等邊三角形．推出PB=PC．根據(jù)SSS證△PBA≌△PCA，推出∠BPA=∠CPA=30°，即可得出答案．

解答：（1）證明∵∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°=∠ACB，
∴AB=AC，
又∠AGB=∠ACB+∠DBC=48°+36°=84°，
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=84°，
∴∠BAG=∠BGA=84°，
∴BG=BA，
∴BG=AC．

（2）解：在四邊形ABCD形外作∠PBA=∠DBA=12°，并使BP=BD，連AP、PC．
則在△PAB和△DBA中

BP=BD ∠PBA=∠DBA AB=AB

，
∴△PBA≌△DBA（SAS），
∠BPA=∠BDA，
又∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=48°+24°=72°，
∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD=BP，
又∠PBC=∠PBA+∠ABD+∠DBC=12°+12°+36°=60°，
∴△PBC為等邊三角形．
∴PB=PC，
∵在△PBA和△PCA中

BP=CP PA=PA AB=AC

∴△PBA≌△PCA（SSS），
∴∠BPA=∠CPA=30°．
∴∠ADB=∠BPA=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．