Question

求y=

2x2-2x+1

+

2x2-( 3 -1)x+1

+

2x2+( 3 +1)x+1

的最小值．

Answer 1

分析：將根式內(nèi)的式子化作平方相加的形式，從而確定A、B、C三點，得出△ABC是中心為（0，0）、邊長為3的等邊三角形，利用費馬點原理可求得y的最小值．

解答：解：因為y=

2x2-2x+1

+

2x2-( 3 -1)x+1

+

2x2+( 3 +1)x+1

=

x2+(x-1)2

+

(x- 3 2 )2+(x+ 1 2 )2

+

(x+ 3 2 )2+(x+ 1 2 )2

，
則對于點T（x，x），A（0，1），B(

3

2

，-

1

2

)，C(-

3

2

，-

1

2

)，
可知y=TA+TB+TC．容易驗證△ABC是中心為（0，0）、邊長為3的等邊三角形．
根據(jù)費馬點原理，當T在O點處時、TA+TB+TC有最小值，y_min=3．

點評：此題考查了函數(shù)的最值問題，將根號下面的式子化為平方和的形式是解答本題的關(guān)鍵，要注意費馬點原理的運用，難度較大．