Question

在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（1，0），當以點A為圓心的圓與直線l：y=x+3相切時，切點的坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：設⊙A與直線l相切于點P，連接AP，做PM⊥AD，PN⊥OC，首先根據(jù)題意和切線的性質(zhì)即可推出AP⊥CD，PN=OM，D（-3，0），C（O，3），便可確定△DAP和△CDO均為等腰直角三角形，可得，PM=AD，再根據(jù)A、D兩點的坐標，推出OA、AD、PM的長度，由等腰三角形的性質(zhì)可得，M點為AD中點，求出AM=2，OM=1，即PN=1，最后由點M在x的負半軸上，即可求出P點的坐標為（-1，2）．
解答：解：如圖，設⊙A與直線l相切于點P，連接AP，做PM⊥AD于M，PN⊥OC于N，
∴AP⊥CD，PN=OM，
∵y=x+3，
∴D（-3，0），C（O，3），
∴OC=OD=3，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
∵AP⊥DP，
∴∠PAD=45°，
∴△DAP和△CDO均為等腰直角三角形，
∴PM=AD，
∵A（1，0），D（-3，0），
∴OA=1，
∴AD=4，
∴PM=2，
∵PM⊥AD，
∴M點為AD中點，
∴AM=2，
∵OA=1，
∴OM=AM-AO=2-1=1，
∴PN=1，
∵點M在x的負半軸上，
∴P點的坐標為（-1，2）．
故答案為（-1，2）．
點評：本題主要考查切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，點的坐標，關鍵在于根據(jù)題意正確的畫出圖形，根據(jù)相關的性質(zhì)定理推出OM、PM的長度，繼而確定P點的坐標．