Question

如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交BE的延長線于F，連接CF．
（1）線段AF與CD相等嗎？為什么？
（2）如果AB=AC，試猜測四邊形ADCF是怎樣的特殊四邊形，并說明理由．

Answer 1

解：（1）AF=CD．
理由：∵E是AD的中點，
∴AE=DE
∵AF∥BC
∴∠EBD=∠EFA，∠EDB=∠EAF，
可得△AEF≌△DEB．
∴AF=BD．
∵點D為BC的中點，
∴BD=CD，
∴AF=CD．

（2）四邊形ADCF為矩形．
理由：∵AF∥CD，AF=CD，
∴四邊形AFCD為平行四邊形．
∵AB=AC，D是BC的中點，
∴∠ADC=90度．
∴四邊形AFCD為矩形．
分析：（1）因為BD=DC，要證明AF=CD，只需要證明BD=AF，由AF∥BD，AE=ED，可證明△AEF≌△DEB．
（2）由（1）可知BD=DC，如果AB=AC，則AD⊥DC，四邊形ADCF為矩形．
點評：考查了全等三角形的判定與運用，特殊四邊形的判定的綜合運用，特殊四邊形之間的相互關系是考查重點．