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【題目】如圖,已知,AB是⊙O的直徑,點P在AB的延長線上,弦CE交AB于點,連結OE,AC,且∠P=∠E,∠POE=2∠CAB.

(1)求證:CE⊥AB;

(2)求證:PC是⊙O的切線;

(3)若BD=2OD,且PB=9,求⊙O的半徑長和tan∠P的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)

【解析】分析:(1)連結OC,如圖,根據圓周角定理得∠POC=2CAB,由于∠POE=2CAB,則∠POC=POE,根據等腰三角形的性質即可得到CEAB;

(2)由CEAB得∠P+PCE=90°,加上∠E=OCD,P=E,所以∠OCD+PCE=90°,則OCPC,然后根據切線的判定定理即可得到結論.

(3)設⊙O的半徑為r,OD=x,則BD=2x,r=3x,易證得RtOCDRtOPC,根據相似三角形的性質得OC2=ODOP,即(3x)2=x(3x+9),解出x,即可得圓的半徑;同理可得PC2=PDPO=(PB+BD)(PB+OB)=162,可計算出PC,然后在RtOCP中,根據正切的定義即可得到tanP的值.

詳解:(1)證明:連接OC,

∴∠COB=2CAB,

又∠POE=2CAB.

∴∠COD=EOD,

又∵OC=OE,

∴∠ODC=ODE=90°,

CEAB;

(2)證明:∵CEAB,P=E,

∴∠P+PCD=E+PCD=90°,

又∠OCD=E,

∴∠OCD+PCD=PCO=90°,

PC是⊙O的切線;

(3)解:設⊙O的半徑為r,OD=x,則BD=2x,r=3x,

CDOP,OCPC,

RtOCDRtOPC,

OC2=ODOP,即(3x)2=x(3x+9),

解之得x=

∴⊙O的半徑r=,

同理可得PC2=PDPO=(PB+BD)(PB+OB)=162,

PC=9

RtOCP中,tanP=

練習冊系列答案
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