【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A(4,0),頂點(diǎn)為B,連接AB、BO.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若C是BO的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AB上,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線CQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B',當(dāng)△OCB'為等邊三角形時(shí),求BQ的長(zhǎng)度;
(3)若點(diǎn)D在線段BO上,OD=2DB,點(diǎn)E、F在△OAB的邊上,且滿(mǎn)足△DOF與△DEF全等,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x;(2)BQ=;(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,0)或(,)或(2+,2﹣)或(4,0).
【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)先求出OB和AB的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠ABO=90°,由對(duì)稱(chēng)計(jì)算∠QCB=60°,利用特殊的三角函數(shù)列式可得BQ的長(zhǎng);
(3)因?yàn)镈在OB上,所以F分兩種情況:
i)當(dāng)F在邊OA上時(shí),ii)當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí),
當(dāng)F在邊OA上時(shí),分三種情況:
①如圖2,過(guò)D作DF⊥x軸,垂足為F,則E、F在OA上,②如圖3,作輔助線,構(gòu)建△OFD≌△EDF≌△FGE,③如圖4,將△DOF沿邊DF翻折,使得O恰好落在AB邊上,記為點(diǎn)E;當(dāng)點(diǎn)F在OB上時(shí),過(guò)D作DF∥x軸,交AB于F,連接OF與DA,依次求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得:﹣×42+4b=0,解得b=2,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x.
(2)∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣2)2+2,
∴B(2,2),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2.
如圖1所示:
由兩點(diǎn)間的距離公式得:OB= =2,BA= =2.
∵C是OB的中點(diǎn),
∴OC=BC=.
∵△OB′C為等邊三角形,
∴∠OCB′=60°.
又∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于CQ對(duì)稱(chēng),
∴∠B′CQ=∠BCQ=60°.
∵OA=4,OB=2,AB=2,
∴OB2+AB2=OA2,
∴∠OBA=90°.
在Rt△CBQ中,∠CBQ=90°,∠BCQ=60°,BC=,
∴tan60°= ,
∴BQ=CB=×=.
(3)分兩種情況:
i)當(dāng)F在邊OA上時(shí),
①如圖2,過(guò)D作DF⊥x軸,垂足為F,
∵△DOF≌△DEF,且E在線段OA上,
∴OF=FE,
由(2)得:OB=2,
∵點(diǎn)D在線段BO上,OD=2DB,
∴OD=OB= ,
∵∠BOA=45°,
∴cos45°= ,
∴OF=ODcos45°= =,
則OE=2OF=,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,0);
②如圖3,過(guò)D作DF⊥x軸于F,過(guò)D作DE∥x軸,交AB于E,連接EF,過(guò)E作EG⊥x軸于G,
∴△BDE∽△BOA,
∴ =,
∵OA=4,
∴DE=,
∵DE∥OA,
∴∠OFD=∠FDE=90°,
∵DE=OF=,DF=DF,
∴△OFD≌△EDF,
同理可得:△EDF≌△FGE,
∴△OFD≌△EDF≌△FGE,
∴OG=OF+FG=OF+DE=+=,EG=DF=ODsin45°=,
∴E的坐標(biāo)為(,);
③如圖4,將△DOF沿邊DF翻折,使得O恰好落在AB邊上,記為點(diǎn)E,
過(guò)B作BM⊥x軸于M,過(guò)E作EN⊥BM于N,
由翻折的性質(zhì)得:△DOF≌△DEF,
∴OD=DE=,
∵BD=OD=,
∴在Rt△DBE中,由勾股定理得:BE= =,
則BN=NE=BEcos45°=×=,
OM+NE=2+,BM﹣BN=2﹣,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(2+,2﹣);
ii)當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí),
過(guò)D作DF∥x軸,交AB于F,連接OF與DA,
∵DF∥x軸,
∴△BDF∽△BOA,
∴ ,
由拋物線的對(duì)稱(chēng)性得:OB=BA,
∴BD=BF,
則∠BDF=∠BFD,∠ODF=∠AFD,
∴OD=OB﹣BD=BA﹣BF=AF,
則△DOF≌△DAF,
∴E和A重合,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0);
綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,0)或(,)或(2+,2﹣)或(4,0).
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