Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，且AC=AB，CO交⊙O于點(diǎn)P，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，BP的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E，連接AP、AF．
求證：
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．

Answer 1

證明：（1）∵∠B、∠F同對(duì)劣弧AP，
∴∠B=∠F，
∵BO=PO，
∴∠B=∠BPO，
∴∠F=∠BPF，
∴AF∥BE．

（2）∵AC切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BPA=90°，
∴∠EAP=90°-∠BEA，∠B=90°-∠BEA，
∴∠EAP=∠B=∠F，
又∠C=∠C，
∴△ACP∽△FCA．

（3）∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C．
∴△PCE∽△ACP
∴，
∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°，
∴△EAP∽△ABP．
∴，
又AC=AB，
∴，
于是有．
∴CP=AE．
分析：（1）由∠B、∠F同對(duì)劣弧AP，可知兩角的關(guān)系，又因BO=PO，△BOP是等腰三角形，求出∠F=∠BPF，得出結(jié)論；
（2）AC切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，證明∠EAP=∠B，故△ACP∽△FCA；
（3）由∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C，證得三角形相似，列出比例式，可得到等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和圓周角定理，此題比較麻煩，做題要細(xì)心．