Question

如圖，直線l₁與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，經(jīng)過原點(diǎn)的直線l₂與AB交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D，已知點(diǎn)C（3，

15

4

），且OA=8．在直線AB上取點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線，與CD交于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQEF．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
（1）點(diǎn)求直線l₁的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，試求正方形PQEF與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積的最大值；
（3）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(4，

9

2

)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M能否在正方形PQEF內(nèi)部？若能，求出t的取值范圍；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件，設(shè)出直線l₁的解析式再根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)和OA的長(zhǎng)，求出k與b的值來，即可求出結(jié)果．
（2）先根據(jù)題意得出P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解出t的值，然后再分兩種情況進(jìn)行討論，分別得出S的最大值，及可求出結(jié)果．
（3）本題分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)t＜3時(shí)和t＞3時(shí)，分別求出t的取值范圍，即可求出結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，
∵直線l₁與直線l₂交于點(diǎn)C，
又∵OA=8，
∴把C（3，

15

4

），A（8，0）代入上式得：

0=8k+b 15 4 =3k+b

，
解得：b=6，k=-

3

4

，
∴直線l₁的解析式為：y=-

3

4

x+6；

（2）點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，根據(jù)題意有：P(t，-

3

4

t+6)，Q(t，

5

4

t)，
∴PQ=

5

4

t-(-

3

4

t+6)=2t-6，
當(dāng)EF在AD上時(shí)，t+2t-6=8，有t=

14

3

，
當(dāng)3＜t≤

14

3

時(shí)，S=（2t-6）²，
當(dāng)t=

14

3

時(shí)，S_最大=

100

9

，
當(dāng)

14

3

≤t≤8時(shí)，S=(2t-6)(8-t)=-2(t-

11

2

)2+

25

2

，
當(dāng)t=

11

2

時(shí)，S最大=

25

2

；
所以，S的最大值為

25

2

；

（3）當(dāng)t＜3時(shí)，有

t＜4＜6-t 5 4 t＜ 9 2 ＜- 3 4 t+6

，
解得：t＜2，
當(dāng)t＞3時(shí)，有

t＜4＜3t-6 - 3 4 t+6＜ 9 2 ＜ 5 4 t

，
解得：3.6＜t＜4，
點(diǎn)M能在正方形PQEF內(nèi)部，此時(shí)t的取值范圍是3.6＜t＜4或t＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用，是一道很好的題．