Question

已知二次函數(shù)y=x²+px+q圖象的頂點(diǎn)M為直線y=

1

2

x與y=-x+m的交點(diǎn)，
（1）用含m的代數(shù)式來表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=x²+px+q圖象經(jīng)過A（0，3），求二次函數(shù)y=x²+px+q的解析式；
（3）在（2）中的二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，設(shè)與x軸的左交點(diǎn)為B，點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，若△PAB為直角三角形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知直線y=

1

2

x和y=-x+m，列出方程求出x，y的等量關(guān)系式即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=(x-

2

3

m)2+

1

3

m，求出m的值即可得出解析式；
（3）利用①當(dāng)∠BAP=90°時，②當(dāng)∠ABP=90°時，③當(dāng)∠APB=90°時，分別解出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）由

y= 1 2 x y=-x+m

，
得 

x= 2 3 m y= 1 3 m

，
即交點(diǎn)M坐標(biāo)為（

2

3

m，

1

3

m）；

（2）∵此時二次函數(shù)為y=(x-

2

3

m)2+

1

3

m過點(diǎn)A（0，3），
∴3=(0-

2

3

m)2+

1

3

m，
得m₁=-3，m2=

9

4

，
∴y=（x+2）²-1或者y=(x-

3

2

)2+

3

4

；

（3）∵二次函數(shù)y=(x-

3

2

)2+

3

4

與x軸沒有交點(diǎn)，
又∵二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)時，
∴二次函數(shù)為y=x²+4x+3，與x軸的左交點(diǎn)B為（-3，0），對稱軸為直線x=-2
①當(dāng)∠BAP=90°時，如圖1，作P₁D⊥y軸于點(diǎn)D，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，y），則P1A2+AB²=BP₁²，可得P1D2+AD ²+AB²=P1E2+BE ²．
即2²+（y-3）²+（3

2

）²=y²+1²．
解得：y=5，
可得P₁坐標(biāo)為（-2，5），
②當(dāng)∠ABP=90°時，如圖2，則BP₂ ²+AB²=AP₂ ²，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，a），
即a²+1+（3

2

）²=（3-a）²+（-2）²
解得：a=-1，
可得P₂坐標(biāo)為（-2，-1），
③當(dāng)∠APB=90°時，同理可得P1A2+BP₁²=AB²，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，b），
則（3

2

）²=（b-3）²+4+1+b²，
解得：b=

3

2

±

17

2

，
可得P在以AB為直徑的圓與直線x=-2的交點(diǎn)上，有兩個：
P₃（-2，

3

2

+

17

2

），P₄（-2，

3

2

-

17

2

），
綜上得，當(dāng)P為（-2，5），（-2，-1），（-2，

3

2

+

17

2

）或（-2，

3

2

-

17

2

）時，△PAB為直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及直角三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．