Question

如圖，在梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于點0，AB=DC，AD=3，BC=7，則下列結論：①∠OCB=45°；②S_△AOB=S_△OCD=；③S_梯形ABCD=25；④AD和BC兩平行線間的距離為5，其中正確的有________．（填入序號）．

Answer 1

①②③④
分析：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，可得四邊形ACED是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等可得CE=AD，求出BE的長度，再證明梯形ABCD是等腰梯形，根據等腰梯形的對角線相等以及AC⊥BD可得△BDE是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質即可判斷出①正確，根據等腰直角三角形的性質求出點D到BE的距離，點O到BC的距離，然后根據S_△AOB=S_△OCD=S_△ABC-S_△OBC，代入數據列式進行計算即可判斷出②正確；根據梯形的面積公式代入數據進行計算即可求出③正確；D到BC的距離即為AD和BC兩平行線間的距離．
解答：解：如圖，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴CE=AD，AC=DE，
∵AD=3，BC=7，
∴BE=BC+CE=7+3=10，
∵AC⊥BD于點0，
∴BD⊥DE，
又∵AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
即Rt△BDE是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，故①小題正確；
∴點D到BE的距離為BE=×10=5，
點O到BC的距離為BC=×7=，
S_△AOB=S_△OCD=S_△ABC-S_△OBC，
=×7×5-×7×=，故②小題正確；
S_梯形ABCD=（3+7）×5=25，故③小題正確；
AD和BC兩平行線間的距離為點D到BC的距離，為5，故④小題正確；
綜上所述，正確的有①②③④．
故答案為：①②③④．
點評：本題考查了等腰梯形的性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線把兩對角線轉互為同一個三角形的兩邊是解題的關鍵，梯形的問題關鍵在于準確作出合適的輔助線．