Question

已知四邊形ABCD，以此四邊形的四條邊為邊向外分別作正方形，順次連結(jié)這四個正方形的對角線交點(diǎn)E，F，G，H，得到一個新四邊形EFGH.

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，則四邊形EFGH         （填“是”或“不是”）正方形；

（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，則（1）中的結(jié)論          （填“能”或“不能”）成立；

（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，其他條件不變， 判斷（1）中的結(jié)論是否還成立？

若成立，證明你的結(jié)論，若不成立，請說明你的理由.

 

Answer 1

1）是 ；                           

（2）能 ；                          、

（3）證明：連結(jié)EF，FG，GH，HE，AE，AH，DG，DH，

   ∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB=CD，即以AB，CD分別為邊的正方形的對角線也相等.

∵點(diǎn)E，G是上述兩個正方形的對角線交點(diǎn)，

∴AE=DG.             

∵點(diǎn)H是以AD為一邊的正方形的對角線交點(diǎn),

∴AH=DH.                         

     易知.

∵平行四邊形ABCD中，有,

   ∴.

∴.

∴.                 

∴HG=HE且.

  同理可證HE=EF=FG.

∴四邊形EFGH是菱形.             

∵點(diǎn)H是正方形的對角線交點(diǎn),

∴,

即.

∴.

∴四邊形EFGH是正方形.