Question

如圖，已知AD是△ABC的角平分線（∠ACB＞∠B），EF⊥AD于P，交BC延長線于M，
（1）如果∠ACB=90°，求證：∠M=∠1；
（2）求證：∠M=

1

2

（∠ACB-∠B）．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AD是△ABC的角平分線得出∠1=∠2，再由EF⊥AD于P得出∠1+∠AEP=90°，∠APE=∠APF，故∠AEP=∠AFP，再根據(jù)∠AFP=∠CFM可得出∠CFM=∠AEP，再由∠ACB=90°可∠M+∠CFM=90°，通過等量代換即可得出結(jié)論；
（2）首先由三角形的內(nèi)角和定理證出∠AEF=∠AFE=∠CFM，由三角形的外角性質(zhì)得到∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB-∠M，代入即可得出答案．

解答：（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵EF⊥AD于P，
∴∠1+∠AEP=90°，∠APE=∠APF=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∵∠AFP=∠CFM，
∴∠CFM=∠AEP，
∵∠ACB=90°，
∴∠M+∠CFM=90°，
∴∠M+∠AEP=90°，
∴∠M=∠1；

（2）證明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，∠APE=∠APF=90°，
又∵∠AEF=180°-∠1-∠APE，∠AFE=180°-∠2-∠APF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠CFM=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE=∠CFM，
∵∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB-∠M，
∴∠B+∠M=∠ACB-∠M，即∠M=

1

2

（∠ACB-∠B）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．