Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)B（6，3），C（2，3）．
（1）求出過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）若直線y=-

1

2

x+b恰好將平行四邊形OABC的面積分成相等的兩部分，試求b的值；
（3）若y=-

1

2

x+b與x軸、y軸的交點(diǎn)分別記為M、N，（1）中拋物線的對(duì)稱軸與此拋物線及x軸的交點(diǎn)分別記作點(diǎn)D、點(diǎn)E，試判斷△OMN與△OED是否相似？

Answer 1

分析：（1）先分別過(guò)點(diǎn)C、B作CF⊥x軸、BH⊥x軸，得出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)AH=OF=2，OH=6，可得出OA的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線解析式為y=ax²+bx+c，再把點(diǎn)A、B、O的坐標(biāo)代入解出a，b，c的值，即可求出答案；
（2）根據(jù)題意先連接OB，取OB的中點(diǎn)P，作PQ⊥x軸，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P的直線一定會(huì)平分平行四邊形OABC的面積，得出直線y=-

1

2

x+b過(guò)點(diǎn)P，即可求出點(diǎn)b的值；
（3）先判斷出它們相似，再根據(jù)M、N、D、E的坐標(biāo)得出線段OM、ON、OE、DE的值，再在△OMN與△ODE中，證出

DE

ON

=

OE

OM

，再根據(jù)∠MON=∠OED，即可證出△OMN∽△OED；

解答：解：（1）如圖，分別過(guò)點(diǎn)C、B作CF⊥x軸、BH⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)F、點(diǎn)H，則四邊形CFHB為矩形，已知B（6，3），C（2，3），
則AH=OF=2，OH=6，可得OA=OH-AH=6-2=4．故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
由于拋物線過(guò)三點(diǎn)A（4，0），B（6，3），O（0，0），
則有

16a+4b+c=0 36a+6b+c=0 c=0

，解之得

a= 1 4 b=-1 c=0

，
故其解析式為：y=

1

4

x2-x；

（2）如圖，連接OB，取OB的中點(diǎn)P，作PQ⊥x軸，則PQ=

1

2

，BH=

3

2

，OQ=

1

2

OH=3，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，

3

2

），
過(guò)點(diǎn)P的直線一定會(huì)平分平行四邊形OABC的面積，
因此直線y=-

1

2

x+b過(guò)點(diǎn)P即可，
故有

3

2

=-

1

2

×3+b，解之得b=3；

（3）答：它們相似，
易知M、N的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，3）；
點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為（2，-1）、（2，0），
可知線段OM=6，ON=3，OE=2，DE=1，
在△OMN與△ODE中
∵

DE

ON

=

1

3

，

OE

OM

=

2

6

=

1

3

∴

DE

ON

=

OE

OM

又∠MON=∠OED，
∴△OMN∽△OED．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合；解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊性的性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)，再結(jié)合圖形進(jìn)行解得即可．