Question

如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到正方形A′B′C′D′，AE=

2 3

3

，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A．

  1

  2

• B．1-

  3

  4

• C．

  3

  3

• D．1-

  3

  3

Answer 1

分析：設(shè)B′C′與CD交于點E．由于陰影部分的面積=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AB′ED}，又S_{正方形ABCD}=1，所以關(guān)鍵是求S_{四邊形AB′ED}．為此，連接AE．根據(jù)HL易證△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定義得出DE=AD•tan∠DAE=

3

3

．再利用三角形的面積公式求出S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE．

解答：解：設(shè)B′C′與CD交于點E，連接AE．
在△AB′E與△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，
∵

AE=AE AB′=AD

，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan∠DAE=

3

3

．
∴S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE=2×

1

2

×1×

3

3

=

3

3

．
∴陰影部分的面積=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AB′ED}=1-

3

3

，
故選D．

點評：本題主要考查了正方形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的判定及性質(zhì)，圖形的面積以及三角函數(shù)等知識，綜合性較強，有一定難度．