Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²+1=0有實數(shù)根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=17，求k的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：計算題

分析：先根據(jù)根的判別式確定k的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²+1，接著利用完全平方公式得到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，則（2k-1）²-2（k²+1）=17，然后解關(guān)于k的一元二次方程，最后根據(jù)k的范圍確定k的值．

解答：解：根據(jù)題意得△=（2k-1）²-4（k²+1）≥0，解得k≤-

3

4

，
∵x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²+1，
而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
∴（2k-1）²-2（k²+1）=17，
整理得k²-2k-9=0，解得k₁=1+

10

，k₂=1-

10

，
而k≤-

3

4

，
∴k=1-

10

．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判別式．