Question

如圖，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，BP=2，AP=2cm，求圖中陰影部分的周長和面積（結果保留π）．

Answer 1

解：連接OA，由AP為圓O的切線，得到OA⊥AP，
設OA=OB=xcm，則OP=OB+BP=（x+2）cm，AP=2cm，
根據(jù)勾股定理得：OP²=OA²+AP²，即（x+2）²=x²+12，
解得：x=2，即OA=OB=2，
∴OP=2+2=4cm，
∵Rt△AOP中，OA=OP，
∴∠P=30°，
∴∠AOB=60°，
∴的長為=，S_扇形AOB==，
則陰影部分的周長為+2+2（cm），面積為S_△AOP-S_扇形AOB=×2×2-=2-（cm²）．
分析：連接OA，由AP為圓的切線，得到OA與AP垂直，在直角三角形OAP中，設OA=OB=x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數(shù)，利用弧長公式求出弧AB長，即可確定出陰影部分的周長，直角三角形OAP的面積減去扇形AOB面積即可確定出陰影部分面積．
點評：此題考查了切線的性質，扇形面積及弧長公式，以及勾股定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．