Question

已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，∠A=36°，AC=BC，
（1）求∠ACB的度數(shù)．
（2）若AC²=AB•AD，求證：△ABC∽△ACD
（3）在（2）的條件下，若AB=1，能否求出AC的值；如果能，請(qǐng)求出AC的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠A=36°，AC=BC，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，即可求得∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠ACB的度數(shù)；
（2）由AC²=AB•AD，可得

AC

AD

=

AB

AC

，又由∠A是公共角，即可利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可證得△ABC∽△ACD；
（3）由（2）易求得∠BCD=∠BDC=72°，即可得BD=BC，然后設(shè)AC=x，利用AC²=AB•AD，即可列方程，解方程即可求得AC的值．

解答：解：（1）∵∠A=36°，AC=BC，
∴∠B=∠A=36°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠C=180°-36°-36°=108°；

（2）∵AC²=AB•AD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；

（3）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD=∠B=36°，
∴∠BCD=∠A+∠ACD=72°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=108°-36°=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC，
∵AC=BC，
∴AC=BC=BD，
設(shè)AC=x，
則BC=BD=x，AD=1-x，
∵AC²=AB•AD，
∴x²=1-x，
解得：x=

5 -1

2

或x=

- 5 -1

2

（舍去），
∴AC的值為

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．