Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長線上，∠A=∠D=30°．
（1）判斷DC是否為⊙O的切線，并說明理由；
（2）證明：△AOC≌△DBC．

Answer 1

（1）解：DC是⊙O的切線．理由如下：
∵∠A=∠D=30°，
∴AC=CD，∠ACD=120°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切線．

（2）證明：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=120°-90°=30°=∠D，
∴BC=BD．
∵∠CBO=2∠D=60°，OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，則BC=OC，
∴△AOC≌△DBC．（SSS）
分析：（1）因?yàn)镃點(diǎn)在圓上，所以只需證明OC⊥CD即可．可先求出∠ACD=120°，∠ACO=∠A=30°，所以∠OCD=90°．得證；
（2）證明△OBC為等邊三角形，運(yùn)用“SSS”判定全等．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定及等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，難度中等．