Question

如圖，已知一個(gè)三角形紙片ABC，BC邊的長(zhǎng)為8，BC邊上的高為6，∠B和∠C都為銳角，M為AB一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，在△AMN中，設(shè)MN的長(zhǎng)為x，MN上的高為h．
（1）請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示h；
（2）將△AMN沿MN折疊，使△AMN落在四邊形BCNM所在平面，設(shè)點(diǎn)A落在平面的點(diǎn)為A₁，△A₁MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，當(dāng)x為何值時(shí)，y最大，最大值為多少．

Answer 1

分析：（1）由于MN∥BC，故△AMN∽△ABC，由相似關(guān)系求解．
（2）由于翻折后點(diǎn)A可能在△ABC的內(nèi)部，也可能在BC邊上，也可能在△ABC的外部，故需分類討論．由于A′是動(dòng)點(diǎn)，故重合的面積隨A′位置的變化而變化．

解答：解：（1）∵M(jìn)N∥BC
∴△AMN∽△ABC
∴

h

6

=

x

8

∴h=

3x

4

．

（2）∵△AMN≌△A₁MN
∴△A₁MN的邊MN上的高為h
①當(dāng)點(diǎn)A₁落在四邊形BCNM內(nèi)或BC邊上時(shí)
y=S_△A1MN=

1

2

MN•h=

1

2

x•

3

4

x=

3

8

x²（0＜x≤4）
②當(dāng)A₁落在四邊形BCNM外時(shí)，如圖（4＜x＜8）
設(shè)△A₁EF的邊EF上的高為h₁
則h₁=2h-6=

3

2

x-6
∵EF∥MN
∴△A₁EF∽△A₁MN
∵△A₁MN∽△ABC
∴△A₁EF∽△ABC
∴

S△A1EF

S△ABC

=(

h1

6

)2
∵S_△ABC=

1

2

×6×8=24
∴S_△A1EF=（

3 2 x-6

6

）²×24=

3

2

x²-12x+24
∵y=S_△A1MN-S_△A1EF=

3

8

x²-（

3

2

x²-12x+24）=-

9

8

x²+12x-24
所以y=-

9

8

x²+12x-24（4＜x＜8）
綜上所述
當(dāng)0＜x≤4時(shí)，y=

3

8

x²，取x=4，y_max=6
當(dāng)4＜x＜8時(shí)，y=-

9

8

x²+12x-24，取x=

16

3

，y_max=8
∴當(dāng)x=

16

3

時(shí)，y值最大y_max=8．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、圖形翻折變換、三角形相似等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．