Question

在平面直角坐標系內(nèi)，點O為坐標原點，直線y=+6交x軸于點A，交y軸于點B，過點B作AB的垂線交x軸于點C，∠ABC的平分線交AC于點D．
（1）求點D的坐標；
（2）若P從點A出發(fā)以每秒個單位長度的速度向終點B運動，過點P作x軸的平行線交BD于點E，交BC于點F，設(shè)線段EF的長為y，點P運動的時間為t（t＞0）秒，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，不需寫出自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，設(shè)同時經(jīng)過B，C，D三點的圓交AB于B，G兩點，當t為何值時有EF=PG？

Answer 1

解：（1）∵直線y=+6交x軸于點A，交y軸于點B，
∴當x=0時，y=6，當y=0時，x=-12，
∴A（-12，0），B（0，6），
∴OA=12，OB=6，
∵BC⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
過點D作DH⊥AB于點H，
則∠HDB=180°-∠DHB-∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠HDB，
∴HD=HB，
在Rt△AHD和Rt△ABO內(nèi)，tan∠BAO====，
∴AH=2HD=2BH，
在Rt△ABO中，AB==6，
∴AH+BH=6，
∴AH=4，BH=HD=2，
在Rt△ADH中，AD===10，
∴OD=2，
∴D（-2，0）；

（2）∵BC⊥AB，
∴∠ABO+∠OBC=90°，
∵∠BOA=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠OBC=∠BAO，
∴tan∠OBC=tan∠BAO=，
在Rt△CBO中，tan∠OBC==，OB=6，
∴OC=3，
∴DC=OD+OD=5，
∵PE∥AD，
∴=，
∵PF∥AC，
∴△BEF∽△BDC，
∴=，
∴=，
∵AP=t，
∴BP=AB-AP=6-t，
∴=，
∴y=-t+5；

（3）連接DG，CG，
∵∠GBC=90°，
∴CG為同時經(jīng)過B，C，D三點的圓的直徑，
∴∠GDC=90°，
∵∠GBD與∠GCD是所對的圓周角，
∴∠GCD=∠GBD=45°，
∴∠DGC=180°-∠DCG-∠GDC=45°，
∴∠GCD=∠DGC，
∴GD=DC=5，
∵AD=10，
在Rt△ADG中，AG===5，
∴當0＜t＜5時，PG=5-t，
∵EF=PG，
∴-t+5=（5-t），
解得：t=4；
當5＜t＜6時，PG=t-5，
∵EF=PG，
∴-t+5=（t-5），
解得：t=；
∴當t=4或t=時有EF=PG．
分析：（1）由直線y=+6交x軸于點A，交y軸于點B，易求得點A與B的坐標，過點D作DH⊥AB于點H，又由BC⊥AB，∠ABC的平分線交AC于點D，易證得HD=HB，然后由勾股定理即可求得AD的長，繼而可求得點D的坐標；
（2）由平行線的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)，即可證得=，繼而可求得y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）首先連接DG，CG，由圓周角定理，即可證得DG=CD，繼而可求得AG的長，然后分別從0＜t＜5與5＜t＜6時去分析求解即可求得答案．
點評：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．