解:(I)由已知,可設(shè)拋物線的頂點式為y=a(x-2)
2+4(a≠0),
即y=ax
2-4ax+4a+4.
∴b=-4a,c=4a+4;
(II)設(shè)E(x
1,y
1),F(xiàn)(x
2,y
2),
由方程組
消去y,
得ax
2-(4a+k)x+4a=0 (*),
∴x
1+x
2=
①,
x
1•x
2=4 ②,
又∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
即|x
2|=4|x
1|,
由②,知x
1與x
2同號,
∴x
2=4x
1③,
由②、③,
得x
1=1,x
2=4;x
1=-1,x
2=-4,
將上面數(shù)值代入①,
得
=±5,
解得k=a或k=-9a,
經(jīng)驗證,方程(*)的判別式△>0成立,
∴k=a或k=-9a;
(III)∵m
2=(x
2-x
1)
2+(y
2-y
1)
2,
而(x
2-x
1)
2=9,
由y
1=kx
1+4,y
2=kx
2+4,
得(y
2-y
1)
2=k
2(x
2-x
1)
2=9k
2,
∴m
2=9(1+k
2),
即m=3
,
由已知3
≤m≤3
,
∴
≤
≤
,
即1≤k
2≤4,
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1,
當(dāng)k=a時,有1≤a≤2或-2≤a≤-1,
當(dāng)k=-9a時,有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1,
即-
≤a≤-
或
≤a≤
.
分析:(Ⅰ)根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo),可用頂點式二次函數(shù)通式來表示出拋物線的解析式,展開后即可得出b、c的表達(dá)式;
(Ⅱ)可先聯(lián)立直線與拋物線的解析式,可得出一個關(guān)于x的一元二次方程,那么這個方程的解即為E、F點的橫坐標(biāo),那么可根據(jù)△ODE和△OEF的面積比以及韋達(dá)定理來求k的表達(dá)式;
(Ⅲ)可根據(jù)E、F的坐標(biāo),運用坐標(biāo)系中兩點的距離公式表示出m,然后根據(jù)韋達(dá)定理和m的取值范圍來求出a的取值范圍.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,以及一元二次方根與系數(shù)的關(guān)系等知識點.