已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)為(2,4).
(Ⅰ)試用含a的代數(shù)式分別表示b,c;
(Ⅱ)若直線y=kx+4(k≠0)與y軸及該拋物線的交點依次為D、E、F,且數(shù)學(xué)公式,其中O為坐標(biāo)原點,試用含a的代數(shù)式表示k;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若線段EF的長m滿足3數(shù)學(xué)公式≤m≤3數(shù)學(xué)公式,試確定a的取值范圍.

解:(I)由已知,可設(shè)拋物線的頂點式為y=a(x-2)2+4(a≠0),
即y=ax2-4ax+4a+4.
∴b=-4a,c=4a+4;
(II)設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),
由方程組消去y,
得ax2-(4a+k)x+4a=0 (*),
∴x1+x2=①,
x1•x2=4 ②,
又∵,

,
,
即|x2|=4|x1|,
由②,知x1與x2同號,
∴x2=4x1③,
由②、③,
得x1=1,x2=4;x1=-1,x2=-4,
將上面數(shù)值代入①,
=±5,
解得k=a或k=-9a,
經(jīng)驗證,方程(*)的判別式△>0成立,
∴k=a或k=-9a;
(III)∵m2=(x2-x12+(y2-y12
而(x2-x12=9,
由y1=kx1+4,y2=kx2+4,
得(y2-y12=k2(x2-x12=9k2,
∴m2=9(1+k2),
即m=3,
由已知3≤m≤3,

即1≤k2≤4,
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1,
當(dāng)k=a時,有1≤a≤2或-2≤a≤-1,
當(dāng)k=-9a時,有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1,
即-≤a≤-≤a≤
分析:(Ⅰ)根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo),可用頂點式二次函數(shù)通式來表示出拋物線的解析式,展開后即可得出b、c的表達(dá)式;
(Ⅱ)可先聯(lián)立直線與拋物線的解析式,可得出一個關(guān)于x的一元二次方程,那么這個方程的解即為E、F點的橫坐標(biāo),那么可根據(jù)△ODE和△OEF的面積比以及韋達(dá)定理來求k的表達(dá)式;
(Ⅲ)可根據(jù)E、F的坐標(biāo),運用坐標(biāo)系中兩點的距離公式表示出m,然后根據(jù)韋達(dá)定理和m的取值范圍來求出a的取值范圍.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,以及一元二次方根與系數(shù)的關(guān)系等知識點.
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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點,且精英家教網(wǎng)與x軸的另一個交點為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點D的坐標(biāo)和對稱軸;
(3)求四邊形ABDE的面積.

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已知拋物線y=ax2和直線y=kx的交點是P(-1,2),則a=
 
,k=
 

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2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點坐標(biāo)為(2,-3),那么該拋物線有( 。

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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點P在x軸上,與y軸交于點Q,過坐標(biāo)原點O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

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(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點A(1,0),頂點為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點B,且于該拋物線交于另一點C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時y1的取值范圍.

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