Question

如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為2和1，AE的延長線與CG交于點P．
（1）求證：AP⊥CG；
（2）求EP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△ADE和△CDG中，根據(jù)全等三角形的判定得出△ADE≌△CDG，即可得出∠DCG=∠DAE，再根據(jù)∠DCG+∠CGD=90°，得出∠GAP+∠PGD=90°，從而得出∠APG=90°，即可證出AP⊥GC；
（2））根據(jù)勾股定理AD=2，DE=1，得出AE的值，再在△ADE和△CPE中，∠AED=∠PEC，∠EAD=∠ECP，得出△ADE∽△CPE，即可得出=，從而得出EP的長．
解答：解：（1）∵正方形ABCD和正方形DEFG，
∴AD=DC，∠ADC=∠CDG=90°，ED=DG，
在△ADE和△CDG中，
∵
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG=∠DAE；
∵∠DCG+∠CGD=90°，
∴∠GAP+∠PGD=90°，
∴∠APG=180°-（∠GAP+∠PGD）=180°-90°=90°，
∴AP⊥GC；

（2）∵AD=2，DE=1，
∴AE==，
在△ADE和△CPE中，
∵∠AED=∠PEC，∠EAD=∠ECP，
∴△ADE∽△CPE，
∴=，
∴=，
∴EP=．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)、勾股定理，熟記這些知識點是解題的關(guān)鍵．