Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分∠BAC，交⊙O于D，點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心．
（1）判斷BC與DM的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）若AB=8，AC=6，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接DB、DC、CM，由AD平分∠BAC，根據(jù)圓周角定理得

BD

=

CD

，∠BDC=90°，則可判斷△BCD為等腰直角三角形，所以BC=

2

CD，再根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得∠MCB=∠MCA，而∠DMC=∠DAC+∠MCA，∠DAC=∠BCD，易得∠DMC=∠MCD，所以DM=DC，則BC=

2

DM；
（2）作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，如圖，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=10，再求出△ABC的內(nèi)切圓的半徑為2，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)易得ME=MF，則可判斷四邊形AEMF為正方形，則AM=

2

ME=2

2

，再由（1）的結(jié)論得DM=

2

2

BC=5

2

，所以AD=AM+DM=7

2

．

解答：解：（1）BC=

2

DM．理由如下：
連接DB、DC、CM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴BC=

2

CD，
∵點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，
∴CM平分∠ACB，
∴∠MCB=∠MCA，
∵∠DMC=∠DAC+∠MCA，
∠DAC=∠BCD，
∴∠DMC=∠BCD+∠MCB=∠MCD，
∴DM=DC，
∴BC=

2

DM；
（2）作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，如圖，
在Rt△ABC中，∵AB=8，AC=6，
∴BC=

AB2+BC2

=10，
∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑=

6+8-10

2

=2，
∵點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，
∴AM平分∠BAC，
∴ME=MF，
∴四邊形AEMF為正方形，
∴AM=

2

ME，
∴AM=2

2

，
而DM=

2

2

BC=5

2

，
∴AD=AM+DM=7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．記住直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內(nèi)切圓半徑為

a+b-c

2

．也考查了圓周角定理．