Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足∠C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x、y軸上，當(dāng)A點(diǎn)從原點(diǎn)開始在x軸正半軸上運(yùn)動時，點(diǎn)C隨著在y軸正半軸上運(yùn)動．
（1）當(dāng)A點(diǎn)在原點(diǎn)時，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB；
（2）當(dāng)A點(diǎn)在x正半軸向右運(yùn)動，點(diǎn)C隨著在y軸正半軸運(yùn)動至O點(diǎn)，在平面上有一點(diǎn)P，使△ACP為等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)OA=OC時，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理列式計算即可得解；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CD、PD，然后分點(diǎn)P在x軸上方和下方兩種情況討論求解；
（3）過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，判斷出△AOC和△BCE是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE、BE，然后求出OE的長，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：（1）如圖，A點(diǎn)在原點(diǎn)時，OB=

AC2+BC2

，
=

42+22

，
=2

5

；

（2）如圖，點(diǎn)C運(yùn)動至點(diǎn)O，過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，
∵△ACP是等邊三角形，
∴CD=

1

2

AC=

1

2

×4=2，
PD=

3

2

PC=

3

2

×4=2

3

，
點(diǎn)P在x軸上方時，P₁（2，2

3

），
點(diǎn)P在x軸下方時，P₂（2，-2

3

）；

（3）過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，OC=4×

2

2

=2

2

，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=180°-90°-45°=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BE=2×

2

2

=

2

，
∴OE=2

2

+

2

=3

2

，
在Rt△BOE中，OB=

OE2+BE2

=

(3 2 )2+ 2 2

=2

5

．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，讀懂題目信息理解所求時刻的三角形的形狀是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．