Question

已知∠AOB=120°，OC、OD是過點(diǎn)O的射線，射線OM、ON分別平分∠ACO和∠DOB．
（1）如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則∠MON______°
（2）如圖②，若∠COD=40°，∠AOC≠∠DOB，則∠MON______°
（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)，若∠COD=a（0°＜a＜60°），則∠MON______°
（4）將（3）中的∠COD繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到∠AOB的外部（0°＜∠AOC＜180°，0°＜∠BOD＜180°），求此時∠MON的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵OC、OD是∠AOB的三等分線，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=×120°=40°，
∵射線OM、ON分別平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=∠AOC=20°，∠DON=∠DOB=20°，
∴∠MON=20°+40°+20°=80°；
（2）∵射線OM、ON分別平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，
∴∠MOC+∠DON=（∠AOC+∠DOB），
∵∠AOB=120°，∠COD=40°，
∴∠AOC+∠DOB=120°-40°=80°
∴∠MOC+∠DON=40°，
∴∠MON=40°+40°=80°；
（3）∵射線OM、ON分別平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，
∴∠MOC+∠DON=（∠AOC+∠DOB），
∵∠AOB=120°，∠COD=α，
∴∠AOC+∠DOB=120°-α，
∴∠MOC+∠DON=60°-α，
∴∠MON=60°-α+α=60°+α；
故答案為80；80；（60+α）；
（4）反向延長OA、OB得到OA′、OB′，如圖，
當(dāng)OD、OC在∠AOB′內(nèi)部，，
設(shè)∠AOD=x，則∠AOC=α+x，
∴∠MOC=∠AOC=（α+x），∠DON=∠DOB=60°+x，

∴∠MON=∠BOC-∠COD-∠BON=120°+α+x-（x+α）-（60°-x）=60°+α；
當(dāng)OD、OC在∠A′OB′內(nèi)部，可計算得到∠MON=120°-α；
當(dāng)OD、OC在∠A′OB內(nèi)部，可計算得到∠MON=60°+α；
當(dāng)OD、OC在∠A′OB′內(nèi)部，可計算得到∠MON=120°-α．
分析：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠AOC=∠COD=∠DOB=×120°=40°，∠MOC=∠AOC=20°，∠DON=∠DOB=20°，則∠MON=20°+40°+20°=80°；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，而∠AOC+∠DOB=120°-40°=80°，則∠MOC+∠DON=40°，所以∠MON=40°+40°=80°；】
（3）與（2）一樣得到∠AOC+∠DOB=120°-α，∠MOC+∠DON=60°-α，則∠MON=60°-α+α=60°+α；
（4）反向延長OA、OB得到OA′、OB′，然后分類討論：當(dāng)OD、OC在∠AOB′內(nèi)部；當(dāng)OD、OC在∠A′OB′內(nèi)部，可計算得到∠MON=120°-α；
當(dāng)OD、OC在∠A′OB內(nèi)部，可計算得到∠MON=60°+α；當(dāng)OD、OC在∠A′OB′內(nèi)部，可計算得到∠MON=120°-α．
點(diǎn)評：本題考查了角度的計算：1直角為90°，1平角為180°．也考查了角平分線的性質(zhì)．