Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（3,0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0,3），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）聯(lián)結(jié)AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；

（3）如果點(diǎn)P是原拋物線上的一點(diǎn)，且∠PAB=∠DAC，將原拋物線向右平移m個(gè)單位（m>0），使平移后新拋物線經(jīng)過點(diǎn)P，求平移距離．

Answer 1

【答案】(1)，（-1，4）； (2) ；(3) 平移距離為或

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程組即可解決問題．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，證明∠ACD=90°即可解決問題．
（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H．設(shè)P（a，-a2-2a+3），可得PH=|-a2-2a+3|，AH=a+3，由∠PAB=∠DAC，推出tan∠PAB=tan∠DAC=．接下來分兩種情形，構(gòu)建方程求解即可．

解：（1）拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，

根據(jù)題意，得：

解得,.

∴拋物線的表達(dá)式是，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）；

（2）∵A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），

∴，

，

，

∵

∴，

∴，

∴；

（3）過點(diǎn)作軸垂線，垂足為點(diǎn)，

∵點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，

∴設(shè)，可得，，

∵，

∴；

（ⅰ）， 解得（舍去），，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

過點(diǎn)作軸平行線與拋物線交于點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

由拋物線的對(duì)稱性可得，

∴平移距離為；

（ⅱ），解得（舍去），，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

過點(diǎn)作軸平行線與拋物線交于點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

由拋物線的對(duì)稱性可得，

∴平移距離為，

綜上所述，平移距離為或．