Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（-3，0），C（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BD向終點(diǎn)D作勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為t，過點(diǎn)P作PM⊥BD，交BC于點(diǎn)M，以PM為正方形的一邊，向上作正方形PMNQ，邊QN交BC于點(diǎn)R，延長NM交AC于點(diǎn)E．
①當(dāng)t為何值時，點(diǎn)N落在拋物線上；
②在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形ECRQ為平行四邊形？若存在，求出此時刻的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²+bx+經(jīng)過A（-3，0），C（5，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得，
所以，拋物線的解析式為y=-x²+x+；

（2）∵y=-x²+x+，
=-（x²-2x+1）++，
=-（x-1）²+8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，8），
∵拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，
∴BD=8，CD=5-1=4，
∵PM⊥BD，
∴PM∥CD，
∴△BPM∽△BDC，
∴=，
即=，
解得PM=t，
所以，OE=1+t，
∵四邊形PMNQ為正方形，
∴NE=8-t+t=8-t，
①點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1+t，8-t），
若點(diǎn)N在拋物線上，則-（1+t-1）²+8=8-t，
整理得，t（t-4）=0，
解得t₁=0（舍去），t₂=4，
所以，當(dāng)t=4秒時，點(diǎn)N落在拋物線上；

②存在．
理由如下：∵PM=t，四邊形PMNQ為正方形，
∴QD=NE=8-t，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，
則，
解得，
所以直線BC的解析式為y=-2x+10，
則-2x+10=8-t，
解得x=t+1，
所以，QR=t+1-1=t，
又EC=CD-DE=4-t，
根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得QR=EC，
即t=4-t，
解得t=，
此時點(diǎn)P在BD上，所以，當(dāng)t=時，四邊形ECRQ為平行四邊形．
分析：（1）把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入拋物線解析式得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例用t表示出PM，再求出NE的長度，①表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)N在拋物線上，把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線，解方程即可得解；②根據(jù)PM的長度表示出QD，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后根據(jù)直線BC的解析式求出點(diǎn)R的橫坐標(biāo)，從而求出QR的長度，再表示出EC的長度，然后根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等列式求解即可．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式），相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．