Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，動點P以1cm/s的速度從A出發(fā)沿邊AB向點B移動，動點Q以2cm/s的速度同時從點B出發(fā)沿BC向點C移動．
（1）△PBQ的面積S（cm²）與點P移動時間t（s）的函數(shù)關系式為______，其中t的取值范圍為______；
（2）判斷△PBQ能否與△ABC相似，若能，求出此時點P移動的時間，若不能，說明理由；
（3）設M是AC的中點，連接MP、MQ，試探究點P移動的時間是多少時，△MPQ的面積為△ABC面積的？

Answer 1

解：（1）S=-t²+6t，0＜t＜6；

（2）由題意知AP=t，BQ=2t．
①若△PBQ∽△ABC，則

∴
解得t=3，
②若△PBQ∽△CBA，則

∴
解得t=．
即當點P移動3s或s時，△PBQ與△ABC相似；

（3）作MD⊥AB于D，ME⊥BC于E．
∴∠ADM=90°，
又∠B=90°，
∴∠ADM=∠B，
∴DM∥BC，
∴，
又∵M是AC的中點，
∴，即D是AB的中點，
∴．
同理，
∵，
∴，
∴
即t²-6t+9=0．
t₁=t₂=3，
即點P移動3s時，
分析：（1）根據(jù)三角形面積公式，知△PBQ的面積S=×BP×BQ．而BP=AB-AP=6-t，BQ=2t，代入即可求出S與t的函數(shù)關系式，由P點只能從A出發(fā)沿邊AB向點B移動，可知t的取值范圍；
（2）假設△PBQ能與△ABC相似，由于∠PBC=∠ABC=90°，則只能點B與點B對應，可分兩種情況討論：①點P與點A對應，即△PBQ∽△ABC；②點P與點C對應，即△PBQ∽△CBA．根據(jù)相似三角形的對應邊成比例列出關于t的方程，從而求出t值；
（3）如果，那么，又AP=t，BP=6-t，BQ=2t，CQ=12-2t，根據(jù)三角形的面積公式可知，只需求出△APM中AP邊上的高及△MQC中CQ邊上的高，即可根據(jù)等量關系列出方程，進而求出方程的解．為此，作MD⊥AB于D，ME⊥BC于E．根據(jù)中位線的判定及性質可求出DM、ME的值．
點評：本題結合三角形面積公式考查了求二次函數(shù)的解析式，結合相似三角形的判定和性質考查了路程問題，以及組合圖形面積的計算．