Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為a(a為大于0的常數(shù))的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運(yùn)動，頂點B在y軸正半軸上運(yùn)動(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O)，頂點C、D都在第一象限．

(1)當(dāng)∠BAO＝45°時，求點P的坐標(biāo)；

(2)求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動，點P都在∠AOB的平分線上；

(3)設(shè)點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當(dāng)∠BAO＝45°時，四邊形OAPB為正方形 　　OA＝OB＝a·cos45°＝a，∴P點坐標(biāo)為(a，a) 　　(2)作DE⊥x軸于E，PF⊥x軸于F， 　　設(shè)A點坐標(biāo)為(m，0)，B點坐標(biāo)為(0，n) 　　∵∠BAO＋∠DAE＝∠BAO＋∠ABO＝90°∴∠DAE＝∠ABO 　　在△AOB和△DEA中： 　　∴△AOB≌和△DEA(AAS) 　　∴AE＝0，B＝n，DE＝OA＝m， 　　則D點坐標(biāo)為(m＋n，m) 　　∵點P為BD的中點，且B點坐標(biāo)為(0，n) 　　∴P點坐標(biāo)為(，)∴PF＝OF＝∴∠POF＝45°， 　　∴OP平分∠AOB．即無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動，點P都在∠AOB的平分線上； 　　(3)當(dāng)A，B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上運(yùn)動時，設(shè)PF與PA的夾角為α， 　　則0°≤α＜45° 　　h＝PF＝PA·cosα＝a·cosα 　　∵0°≤α＜45°∴＜cosα≤1 　　∴a＜h≤a 　　考點：正方形性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)，全等三角形，直角梯形． 　　分析：(1)根據(jù)已知條件，用特殊角三角函數(shù)可求． 　　(2)根據(jù)已知條件，假設(shè)A點坐標(biāo)為(m，0)，B點坐標(biāo)為(0，n)并作DE⊥x軸于E，PF⊥x軸于F，用全等三角形等知識求出點D，P，E，F(xiàn)坐標(biāo)(用m，n表示)，從而證出PF＝OF，進(jìn)而∠POF＝45°．因此得證． 　　(3)由(2)知∠OPF＝45°，故0°≤∠OPA＜45°，＜cos∠OPA≤1，在Rt△APF中PF＝PA·cos∠OPA，從而得求．