Question

已知點(diǎn)A（1，c）和點(diǎn)B（3，d）是直線y=k₁x+b與雙曲線（k₂＞0）的交點(diǎn)．
（1）過點(diǎn)A作AM⊥x軸，垂足為M，連接BM．若AM=BM，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，并交雙曲線（k₂＞0）于點(diǎn)N．當(dāng)取最大值時，有PN=，求此時雙曲線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B作BN⊥x軸，由點(diǎn)A（1，c）和點(diǎn)B（3，d）都在雙曲線（k₂＞0）上，得到即c=3d，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3d），根據(jù)勾股定理計(jì)算出MB=，然后利用AM=BM得到（3d）²=2²+d²，求出d的值，即可確定B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由B（3，d）可得到反比例函數(shù)的解析式為y=，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-dx+4d，則可設(shè)P（t，-dt+4d），則N（t，），表示出PN=-dt+4d-，NE=，再計(jì)算==-t²+t-1，配方得-（t-2）²+，由于取最大值，所以t=2，此時PN=-dt+4d-=，解方程得到d的值，即可確定雙曲線的解析式．
解答：解：（1）如圖，過B作BN⊥x軸，
∵點(diǎn)A（1，c）和點(diǎn)B（3，d）都在雙曲線（k₂＞0）上，
∴1×c=3×d，即c=3d，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3d），
∴AM=3d，
∵M(jìn)N=3-1=2，BN=d，
∴MB=，
而AM=BM，
∴（3d）²=2²+d²，
∴d=，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）；

（2）如圖，把B（3，d）代入y=得k₂=3d，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=，
把A（1，3d）、B（3，d）代入y=k₁x+b得，，解得，
∴直線AB的解析式為y=-dx+4d，
設(shè)P（t，-dt+4d），則N（t，），
∴PN=-dt+4d-，NE=，
∴==-t²+t-1=-（t-2）²+，
當(dāng)取最大值時，t=2，
此時PN=-dt+4d-=，
∴-2d+4d-=，
∴d=1，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式；運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；利用配方法討論確定最值問題以及勾股定理計(jì)算有關(guān)線段的長度．