Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，EF是AD的垂直平分線．
求證：（1）∠EAD=∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC=∠B．

Answer 1

證明：（1）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA；

（2）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AF=DF，
∴∠BAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF∥AC；

（3）由（1）∠EAD=∠EDA，
即∠ADE=∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE=∠BAD+∠B，
∠BAD=∠CAD，
∴∠EAC=∠B．
分析：（1）根據(jù)垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等可得到AE=DE，再根據(jù)等角對等邊可得到∠EAD=∠EDA；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明AF=DF，進而得到∠BAD=∠ADF，再利用角平分線的性質(zhì)可得到∠BAD=∠CAD，利用等量代換可得∠ADF=∠CAD，再根據(jù)平行線的判定即可得到DF∥AC；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得到結(jié)論．
點評：此題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定以及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，題目綜合性較強，但是難度不大，需要同學(xué)們掌握好基礎(chǔ)知識．