Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A，D不重合），一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E．
（1）△CDP與△PAE相似嗎？如果相似，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CDP的周長(zhǎng)等于△PAE周長(zhǎng)的2倍？若存在，求DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)，一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E，易得∠A=∠D=90°，∠APE=∠PCD，繼而證得△CDP與△PAE相似；
（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=AD-DP=11-x，由相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，易得

6

11-x

=2，繼而求得答案．

解答：解：（1）△CDP∽△PAE．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+CPD=90°，
∵∠CPE=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠APE=∠PCD，
∴△CDP∽△PAE；

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=AD-DP=11-x，
∵△CDP∽△PAE，
∴

CD

AP

=2，
∴

6

11-x

=2，
解得：x=8，
∴AP=3，AE=4，
即DP=8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．