Question

（2004•棗莊）如圖，在△ABC中，AB=17，AC=5，∠CAB=45°，點(diǎn)O在BA上移動(dòng)，以O(shè)為圓心作⊙O，使⊙O與邊BC相切，切點(diǎn)為D，設(shè)⊙O的半徑為x，四邊形AODC的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求x的取值范圍；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與BC、AC都相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題目條件和切線的性質(zhì)，建立起半徑和BD的關(guān)系式，然后根據(jù)四邊形面積公式和三角形面積公式得出S_{四邊形AODC}=S_△ABC-S_△BOD，得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）結(jié)合圖形，易得當(dāng)O在B點(diǎn)時(shí)，圓的半徑最小，O在C點(diǎn)時(shí)，圓的半徑最大，求出CF的長(zhǎng)即可；
（3）當(dāng)⊙O與BC、AC都相切時(shí)，利用S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC，即可求出x的值．
解答：解：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．
在Rt△ACE中，AC=5，∠CAB=45°，
∴AE=CE=AC•sin45°=．
∴BE=AB-AE=17-5=12，．（2分）
∴tanB=．
∵CB切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥BC．
又=tanB=，
∴BD=．（4分）
∵S_{四邊形AODC}=S_△ABC-S_△BOD，
∴-==；（6分）

（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CB交AB于F．
在Rt△BCF中，CF=BC•tanB=13×=．
∴x的取值范圍是0＜x≤．（9分）
說(shuō)明：答案為0＜x＜不扣分；

（3）當(dāng)⊙O與BC、AC都相切時(shí)，
設(shè)⊙O與AC的切點(diǎn)為G，連接OG、OC（如圖②），則OG=OD=x．
∵S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC，
∴．
∴．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用圖形之間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式的能力，解答此類題目的關(guān)鍵是將面積之間的關(guān)系作為橋梁，要熟知各種圖形的面積公式．