Question

9、已知正整數(shù)p和q都是質(zhì)數(shù)，且7p+q與pq+11也都是質(zhì)數(shù)，試求p^q+q^p的值．

Answer 1

分析：根據(jù)質(zhì)數(shù)的特征可知pq+11必為正奇質(zhì)數(shù)，pq為偶數(shù)，從而確定p=2或q=2．再分情況討論求解即可．

解答：解：pq+11＞11且pq+11是質(zhì)數(shù)，
∴pq+11必為正奇質(zhì)數(shù)，pq為偶數(shù)，而數(shù)p、q均為質(zhì)數(shù)，故p=2或q=2．
當(dāng)p=2時(shí)，有14+q與2q+11均為質(zhì)數(shù)．
當(dāng)q=3k+1（k≥2）時(shí)，則14+q=3（k+5）不是質(zhì)數(shù)；
當(dāng)q═3k+2（k∈N）時(shí)，2q+11=3（2k+5）不是質(zhì)數(shù)，
因此，q=3k，且q為質(zhì)數(shù)，故q=3．
當(dāng)q=2時(shí)，有7p+2與2p+11均為質(zhì)數(shù)．
當(dāng)p═3k+1（k≥2）時(shí)，7p+2=3（7k+3）不是質(zhì)數(shù)；
當(dāng)p=3k+2（k∈N）時(shí)，2p+11=3（2k+5）不是質(zhì)數(shù)，
因此，p=3k，當(dāng)p為質(zhì)數(shù)，故p=3．
故p^q+q^p=2³+3²=17．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定p=2或q=2，主要分類(lèi)思想的運(yùn)用，有一點(diǎn)的難度．